14.3.11/수유너머 N 화요토론회/발표문

알베르 로트망의 수리철학에 대한 고찰

김충한(수유너머N 회원)

1. 들어가며

알베르 로트망(1908~1944)은 20세기의 프랑스 수리철학자다. 파리고등사범학교에서 수학과 철학을 공부하고 이후에 철학으로 박사학위를 받지만 동시에 장교로서 군에 복무한 사람이기도 하다. 1938년 독일 나치에 대항해 군에 자원입대하고 포로생활과 탈출 그리고 레지스탕스로 활동하다 게슈타포에 의해 1944년 36살의 나이로 총살을 당한다. 학자로서 비교적 젊은 나이에 세상을 떠난 터라 몇 편의 에세이들이 전부이다. 수리철학에 대한 그의 작업은 오래도록 주목받지 못하다 최근에 와서야 들뢰즈, 바디우가 언급하면서 주목을 받았다. 비록 일찍 세상을 떠난 탓도 있지만 한편으로 다른 이유도 있다. 수학자들은 그의 수리철학이 실제 수학활동과 별로 관계없는 ‘형이상학’이라고 생각했고, 철학자들은 그의 수리철학에서 사용되는 철학개념이 자의적이라고 판단했기 때문이다. 하지만 들뢰즈가 [차이와 반복]에서 그를 적극 인용하며 다시 주목받기 시작했으며 들뢰즈의 철학체계의 상당히 많은 부분에서 로트망의 흔적을 찾을 수 있다. 본 에세이를 통해 로트망의 작업을 개괄하고 이를 통해 들뢰즈에 대한 이해를 높이고자 한다. 20세기 초 수학기초론에 대한 논의 속에 등장했던 러셀,화이트헤드,빈 서클의 논리주의, 브라우베르(1881~1966)의 직관주의, 독일의 힐베르트에 의해 진행되었던 형식주의 모두에 동의하지 않았던 로트망은 자신만의 수리철학을 전개해간다. 플라톤에서 시작해 하이데거를 경유하며 수학의 ‘형이상학’을 만들어간 그의 작업을 순서를 따라 개괄해보겠다.

2. 20세기 수학기초론

1800년대에 수학은 그것의 기초에 대한 엄밀성의 작업으로 초점이 모였다. 해석학(analysis)이 유용성에 비해 기초가 너무나 취약했고, 확고하다 여겨졌던 유클리드 기하학과 기하학이 가능함이 밝혀졌기 때문이다. 유클리드 기하학이 가장 확실한 체계라 여겨지던 때에는 해석학조차도 기하학의 토대위에 놓으려고 했지만(가령, 뉴턴의 경우) 이후 비유클리드 기하학이 가능함이 인정되면서 기하학은 반대로 수의 기초위에 놓여 져야 했다. 1900년대 들어 수학의 산술화가 이루어지고 더 나아가 기호논리학이라는 분야 속에 수학을 기초 지우려는 시도가 등장한다.(프레게) 이와는 다르게 수학을 논리학을 환원할 수 없다고 생각한 사람들은 직관주의, 형식주의로 나아간다. 직관주의는 크로네커, 푸앵카레, 르벡, 브라우베르에 의해 제안된 수학에 대한 직관을 강조하는 사조로서, 너무나 자명하다 여겨지는 수학적 실재에 대해서 의심을 하지 말고 그것을 기초삼아 다른 것을 증명해나가자는 것이다. 가령 크로네커는 정수가 직관적으로 명료한 것이며 나머지 수학의 구성물들은 이것으로부터 재건설되어야 한다고 주장한다. 푸앵카레도 마찬가지로 자연수는 직관적으로 너무나 확실한 수학적 존재이기 때문에 이를 다른 개념으로 정의하거나 논리적 기초위에 구성할 필요는 없다고 생각했다. 논리학이 수학을 담을 수 없는 이유 중 하나로 푸앵카레는 수학적 귀납법에서의 무한을 제시한다. 이런 무한을 사용한 증명법은 논리학에 등장하지 않는 것이지만 수학에서는 이미 예전부터 쓰고 있다. 따라서 수학을 논리학으로 환원할 수 없다는 주장이다. 배중률은 아리스토텔레스 논리학의 기본 원리로서 작동되며 수학에도 자명한 이치로 도입이 되었지만 직관주의자들은 이것이 ‘유한개의 원소가 있는 경우에만 적용할’ 수 있는 것이라며 사용을 유한한 대상으로 한정한다. 그리고 이들은 수학에서 많이 등장하는 존재증명을 무익한 것으로 간주한다. 가령 가우스가 실수 계수나 복소수 계수를 갖는 n차 방정식이 한 개 이상의 근을 가진다고 증명하긴 했지만 그 근을 어떻게 구하는지를 보이지 않는다면 그것은 실체 없는 공허한 것이라고 본다. 존재성 증명은 존재하는 양을 계산해 낼 수 있어야 하고 이를 구성적(constructive) 증명이라고 불렀다.

모리스 클라인, 심재관 옮김, [수학의 확실성], 2007, p. 405

모리스 클라인, 심재관 옮김, [수학의 확실성], 2007, p. 375

그러나 직관주의는 직관적으로 자명하다 여겨지는 몇 개의 정리만을 인정하다 보니 과거부터 축적된 수학의 많은 정리들을 불확실하다는 이유로 배제해야만 했다. 또 직관주의자들마다 각자가 직관적으로 타당하다고 믿는 것이 다르다는 근본적인 문제점이 발생한다.

이와 다르게 여전히 수학이 논리학으로 환원될 수 없다고 생각한 사람들 가운데 독일을 중심으로 형식주의가 태동했다. 힐베르트라는 이름으로 떠오르는 이 학파는 직관주의가 풍성했던 수학의 영역을 갈기 갈기 찢고 아주 조그만 영역만 남겨 놓았다고 비난하며 새로운 방법을 제시한다. 수학을 지식에 대한 학문이 아닌 형식에 대한 학문으로 간주하자는 것이다. 아무 의미가 없는 추상적인 기호를 사용하는 학문으로 만드는 것이다. 직관주의자들이 수학적 의미가 있는 것에 대한 논의로 수학을 한정시키려는 것과 달리 이들은 논리주의자들과 마찬가지로 의미를 사상시키고 모두 형식체계로 골격만 남기고자 한다. 가령 예전의 직선이라고 우리가 표상했던 것이 구면기하학에서는 대원(大圓)이 된다. 중요한 것은 어떤 개념이 아니라 그것이 위치해있는 특정 공리계다. 그 공리계 속에서 그 개념이 의미를 지니기에 힐베르트는 점,선,면은 무정의 대상이고 그것이 어떤 공리계에 포함되느냐에 따라 의미를 가지게 된다고 생각했다. 점,선,면을 탁자,의자,맥주잔으로 바꿔 불러도 상관없다는 그의 유명한 말은 이런 것을 의미한다. 수학의 각 영역들의 공리를 찾아내고, 이 공리계들의 상위의 차원에서 모든 공리계를 도출해낼 수 있는 하나의 공리계(힐베르트는 M공리계라고 불렀다)를 찾아낸다면, 수학은 이제 가장 확고한 기초를 얻게 될 것이다. 잘 알려져 있다시피 이 시도는 괴델에 의해 실패하게 된다.

같은 책, p. 432

3. 힐베르트의 형식주의

초기 비트겐슈타인과 카르납에게 수학은 물리학적 데이터들을 연결하는 체계일 뿐이다. 물리적 사실을 지시하지 않는 수식은 무의미하다. 중요한 것은 수식의 내용이다. 가령

[eqn: m {d ^{2} x} over {dt ^{2}} + gamma m {dx} over {dt} +m omega _{0} ^{2} x=F(t)]

이런 수식에 대해서 수학자라면 2차 비제차 선형 미분 방정식이라고 부를 것이지만, 물리학자들은 첫 번째 항은 뉴턴의 제2법칙 F=ma를 나타내고 두 번째 항은 속도에 비례하여 작용하는 마찰력이고, 세 번째 항은 용수철 상수 k를 다르게 쓴 것이고 우 항은 외부에서 작용한 힘혹은 신호라고 ‘본다’. 우리가 쓰는 “언어는 세계를, 명제는 사실을, 이름은 대상을 지칭한다.” 곧 언어는 실제 현상과 대응 관계에 있다는 비트겐슈타인의 그림이론(picture theory)과 같이 물리학자들은 수식에서 상을 그려낸다. 중요한 것은 수식 그 자체가 아니라 그것이 지칭하는 물리적 현상이다. 물리학자는 물리적 직관을 통해 상을 떠올리고 이 상을 기술하기에 적절한 수학을 가지고 사용할 뿐이다.

위키피디아, [비트겐슈타인]

경험으로 진위를 확인할 수 있는 즉 실증가능한 원자명제만이 유의미하며 모든 것을 기호논리학을 이용해 원자명제(프로토콜 명제)로 환원함으로써 모든 학문을 물리학으로 수렴시키고자 했던 논리실증주의자들처럼, 물리학자들 역시도 수학이란 언어 그 자체는 무의미하고 물리적 현상과 대응하는 것만이 유의미하다는 생각을 가지고 있다. 둘은 많은 공통점을 가지고 있지만 특히 수학을 그것이 지칭하는 대상, 내용으로 보고 있는 점이 특기할 만하다.

수학의 모든 이론을 논리학의 원리들로 재구성할 수 있고(논리주의) 이 논리학 규칙을 사용해 사람의 지식을 분석해가면 결국 경험적 사실에 기초한 문장과 그렇지 않은 문장으로 구분할 수 있고 후자는 무의미하다고 생각할 수 있다.(논리실증주의)

이 둘 모두에 로트망은 반대하며 대신 힐베르트의 형식주의를 끌어온다. 형식주의에 따르면 수학적 대상(점,선,면등)은 무정의 대상이고 그것은 어떤 공리체계안의 관계 속에서 의미를 가지게 된다.

.힐베르트는 수학 전체를 논리학으로 재구성할 수 있다는 주장에 반해, 논리학으로부터 산술학으로 그리고 산술학으로부터 해석학을 통과하며, 새로운 변수들과 새로운 공리들을 도입한다. 이것들은 각 영역에서 위치지워진다.

Albert Lauman, translated by Simon duffy [Mathematics,Ideas and the physical real], 2011, p. 89

과거의 수학에서는 공리가 주어지고 이것들로부터 연역적으로 정리가 구성되면 참인 것이 자명하다 여겨졌지만 힐베르트는 공리들 사이의 무모순성이 하나의 특정 수학체계보다 상위의 메타수학에 의해 증명되어야 하고 이것이 절대적인 참이라고 생각했다. 수학체계의 유의미성은 논리학으로의 환원가능성, 물리적 현상과의 연결 관계와 상관없이 메타수학에 의해 결정된다. 이 메타수학이란 거대한 구조물이 완성됨으로써 수학의 모든 불확실성은 제거된다.

로트망은 힐베르트의 수학적 대상에 대한 생각, 즉 고정된 내용이 아닌 그것이 속해있는 공리 체계에 따라 달라지는 의미란 생각을 받아들인다. 그리고 힐베르트의 메타수학이라는 거대한 구조물에 운동성(movement)를 덧붙인다. 로트망은 메타수학을 수학 내부로 포갬으로써 이를 성취한다. 더 정확히는 수학이론의 잠재성의 영역으로 끌어내린다. 수학내에서 제기되는 문제들(problems)은 수학자들로 하여금 답을 찾도록 강제하며 이 과정에서 나온 부분적 결과들 사이에 연결이 만들어지고 하나의 테마로 통합된다. 테마속에서 변증론적 관계가 발견되며 변증론의 이데아가 있어 이것이 수학발전을 추동한다. 그러나 이 이데아(이념)는 그것 자체로는 인식될 수 없고 오직 수학 이론을 통해서만 드러난다.

4. 플라톤의 이데아

이데아를 언급하는 로트망이 그렇다고 전통적 의미에서의 플라톤주의를 주장하는 건 아니다. “전통적 플라톤주의는 수학적 대상들이 추상화된 관념으로서 독자적인 존재의 영역을 가진다고 믿는다.” 수학자들은 그저 정신활동으로 이미 존재하고 있는 수학 명제들을 ‘발견‘할 뿐이다. 로트망은 이것이 플라톤주의에 대한 피상적 이해라고 비판한다.  이데아들은 고정된 불변의 실체가 아니라 변증론의 스키마들과의 관련 속에서 파악된다. 이런 생각은 그 당시의 철학자인 독일의 Julius Stenzel(1883-1935),Oskar Becker( 1889 – 1964), 프랑스의  Léon Robin(1866 –1947)의 플라톤 연구를 인용한 것이다.

위키피디아, [수리철학]

Albert Lauman, 2011, p. 190

아래의 그림은 Stenzel이 하나의 이데아에서 양분되어 나오는 수를 그린 도식이다. 그러나 Becker는 위 도식이 두 가지 점에서 문제가 있다고 본다. 첫째는 홀수는 항상 짝수가 지정된 후에만 규정될 수 있다는 점이다. 그리고 숫자들과 이데아들의 구분이 모호하다는 것이다. 그래서 그는 아래와 같은 도식을 제안했다.

검정색은 일반적인 숫자들(ordinary numbers)이고 하얀색은 이데아들-숫자들(Ideas-numbers)이다. 하나의 단위에서 분할이 시작되고 현실에서 나타나는 것들은 검정색 원들이고 하얀색 원들은 일종의 보이지 않는 원들이다. 이데아-숫자는 산술적 수를 산출한다. 이데아들-숫자들의 스키마(schema)가 산술적 수를 발생시키고 각 산술적 수는 그 다음 수를 발생시킬 수 있는 이데아-수를 내포하고 있다.  따라서 이데아-수는 산술적 수를 선규정하며 지배(govern)하는 존재다. 이들은 산술적 수들에 선재한다. Becker의 스키마가 로트망이 플라톤의 이데아-수를 독해하는 방식이다.

Albert Lauman, 2011, p. 278

5. 하이데거의 세계

우리는 우리의 내부로부터 끊임없이 들려오는

‘여기에 문제가 있다’는 외침을 듣는다.

그것의 답을 찾자. (Devlin).

http://www.math.snu.ac.kr/~kye/lecture/02_1_set_theory/%EB%AC%B8%ED%95%9C%EB%B4%84.htm 에서 재인용

발생이란 것은 그저 이데아로부터 구체적인(concrete) 물질 혹은 위의 검은색 원이 만들어지는 것이 아니고 그 이전에 이데아-수 혹은 개념들 혹은 하얀색 원이 먼저 출현해야 한다. 로트망은 이를 하이데거와 연결시킨다. 하이데거의 [근거의 본질에 관하여]를 인용하면

“존재자는...술어화에 앞서 또한 이러한 술어화를 위해 이미 드러나 있어야 한다. 술어화가 가능하기 위해선 술어화는 존재자를 드러내는 활동안에 정주할 수 있어야 하는데, 이러한 활동은 술어적 성격을 갖지 않는다. 명제진리는 더 근원적 진리(비은폐성) 안에 즉 존재자적 진리라고 명명되는 ‘존재자의 선 술어적인 드러나있음’안에 뿌리박고 있다.”

하이데거는 가장 정교한 과학조차도 존재자를 다루고 있으며 이는 존재의 개현성이 전제된 이후에야 가능함을 주장한다. 존재하는 세계가 아닌 현성하는 세계를 주장하는 하이데거에게 세계는 이념의 영역에 있다. 이때 이념은 칸트의 것으로 이성의 작용으로 만들어지는 ’추리하는 능력이다. 다시 말해, 그것은 가능한 판단의 조건을 주어진 판단의 조건 아래 포섭시킴으로써간접적으로 판단하는 능력이다.‘ ’모든 인간의 인식은 직관들로 시작하여, 거기서부터 개념들로 나가고, 이념들로써 끝맺는다‘. 이러한 이념은 경험적인 것을 가능하게 하고 선규정한다. 곧 이념은 초월적이다. 초월적인 이념은 현상들로 모두 환원해서 설명할 수 없으며 동시에 현상과 외따로 존재하지도 않는다. 절대적 총체성에 관련하는 이념을 칸트는 ’세계‘ 개념이라고 부르는데, 세계-내-존재가 도구의 존재자적 연관과 동일시 될 수 없는 이유는 ’세계-내-존재‘의 ’세계‘가, 이념의 영역에 있기 때문이다. 하이데거는 칸트의 세계개념을 이용하여 존재자들의 집합으로 환원되지 않는 세계-내-존재의 초월성과 현존재의 탁월함을 확보한다.   로트망은 수학발전을 추동하는 이데아(이념)와 수학이론자체의 관계를 하이데거의 세계개념으로 유비시킨다. 존재자를 인과관계를 거슬러 올라간다고 해서 존재가 발견되는 것이 아니듯, 수학 이론도 그것의 시작점(공리)로 거슬러 올라간다고 변증론이 발견되는 것이 아니다. 차라리 그것은 수학이론들에 구현된(incarnated)채로만 보여 질 수 있다. 변증론의 기능을 실질적으로 수행하는 것은 문제들이다. 수학이론의 발전은 어떤 문제를 풀기 위해 일어나며 전통적 이론으로 풀 수 없을 경우 새로운 이론을 만들어서 해결하기도 한다. 부가된 문제들(posed problems)-하이데거철학의 염려(sorge)에 해당된다-에 의해 단편적인 결과들이 만들어지며 이 결과들 사이에 연결이 구성되고 그러면서 새로운 수학이론이 만들어진다. 단편적인 결과들의 모임속에 변증론적 개념들이 발견되고, 이 변증론의 이데아가 곧 수학발전을 이끈다. 변증론의 질서에 잠재되어 있는 문제들이 경험의 재촉으로서(urgency of experience)답을 요구하며 새로운 수학적 구조들을 만들어 낸다. 플라톤의 변증론적 패턴에 하이데거의 개념을 가지고 오고 이것을 수학사에 등장하는 문제들로 엮어 자신의 체계를 만든 셈이다. 혹  새로운 수학이론의 발생이 수학자의 심리(이 문제를 풀어야 해)수준에서 발생하는 것이 아니냐는 비판이 제기될 수 있는데 하이데거의 염려(sorge)를 개인의 심리상태 수준에서 이해함을 의미한다.

임마누엘 칸트, [순수이성비판], p.551

같은책 p.854

김충한, [하이데거의 초월개념의 확장가능성에 대하여], 인사원 하이데거 기말에세이,p.2

로트망은 철학자가 수학에 대해 할 수 있는 작업은 그것의 앞으로 전개과정을 예측하는 것이 아니라 이미 펼쳐진 이론들에 내재해있는 개념들을 밝혀내고 그것의 논리적 스키마를 찾아내는 것이라고 말한다. 논리적 스키마라고 했지만 아마 모든 철학자들이 수학이론에 대해 동일한 개념을 끌어 올리진 않을 것이다. 동일한 수학 이론이라 여겨지던 것들도 다른 개념어를 써서 어떻게 논리적 스키마를 짜느냐에 따라 다르게 구획되고 다른 영역이라 여겨지던 결과물이 하나의 이론으로 분류되면서 새로운 통합체(unity)가 만들어질 수 있지 않을까.

Albert Lauman,  2011, p. 189

6. 예시

로트망은 스스로 철학자가 할 일이 무엇인지를 보여준다. 국소적인 것(local)한 것과 전역적인 것(global), 내성적인 것(intrinsic)과 외부에서 부여된 것(induced), 연속적인 것(continuous)과 불연속적인 것(discontinous), 본질(essence)과 실존(existence)이란 개념쌍을 수학이론에서 찾아낸다. 그 중 국소적인 것과 전역적인 것의 예를 살펴보자.

연속적이고 미분가능한 함수는 푸리에 급수로 표현할 수가 있다.

같은 책, p.108

[eqn: f(x)= {1} over {2} a _{0} + sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} cosnx+b _{n} sinnx)]

그리고 위의 계수 [eqn: a _{n} ,b _{n}]은 다음과 같이 결정할 수 있다.

[eqn: a _{n} = {1} over {pi } int _{- pi } ^{pi } {f(x)cosnxdx;`}# # b _{n} = {1} over {pi } int _{- pi } ^{pi } {f(x)sinnxdx;`}]

이는 바이어슈트라스의 정리로서 정해진 구간에서 연속이고 미분 가능한 함수들이 집합은 완전하다(complete)는 것의 결과물이다. 함수들로 이루어진 집합이 완전하다는 것은 이 집합내의 어떤 다른 함수라도 주어진 집합 안에 있는 함수들의 선형결합으로 표시될 수 있음을 말한다. 곧 우리가 어떤 함수를 이렇게 [eqn: f(x)= {1} over {2} a _{0} + sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} cosnx+b _{n} sinnx)] 분해할 수 있음은 그 함수가 완전한 집합내에 속해있기 때문이다. 여기에서 로트망은 개별적 함수 하나를 분해하는 국소적인(local) 문제는 곧 그것이 속해있는 전체 함수 집합의 전역적(global) 특성에 의해 가능함을 주장한다. 반대로 말해서 어떤 함수의 전역적인 특성은 그 개별적인 함수의 분해속에서 드러난다.

David griffith, 권영준 역, 양자역학, p.92

부분으로 향한 전체로부터의 하강이 존재한다. 그리고 전체로 향하는 부분으로부터의 상승이 존재한다. 완전성(completion)의 이데아에 의해 밝혀진 이 이중의 운동은 수학적 엔터티들의 내부적 구성의 측면을 보여준다

Albert Lauman,  2011, p. 109

이를 이용해 로트망은 러셀에 의해 주장된 논리주의를 비판한다. 논리주의자들에 따르면 집합의 성질은 그것의 요소들의 성질을 알고 이를 모으면 알아낼 수 있다. 분석적이고 환원적 방식에 대해 로트망은 어떤 집합의 요소를 정의하기 위해선 때로는 이 집합의 전역적 특성들이 ‘이미‘ 밝혀져 있어야 가능하기 때문에(가령 위의 예에서는 그 집합이 complete하다는) 논리주의자들의 주장은 수학자들이 받아들일 수 없다고 비판한다. 로트망은 변증론적 개념쌍이 수학에서 어떻게 등장하는지 제시하는 예는 결코 적지 않다. [수학에서 구조와 존재의 개념들에 관한 에세이](Essay on the Notions of Structure and Existence in Mathematics)의 절반이 수학의 예시를 제시하는데 할당되어 있다. 수학적 지식이 부족한 탓에 더 많은 예시를 소개하지 못한 것은 발표자의 부족이지 로트망이 사례없이 일방적으로 자신의 철학체계를 제시하고 있는건 아니다.

7. 들뢰즈의 [차이와 반복]

수학자에게 수학이론의 생성을 지배하는 어떤 이데아(이념)가 있다는 로트망의 주장이 쉽게 받아들여지진 않았을 것이다. 그렇다고 철학에서 로트망의 주장을 이해하기에는 플라톤의 변증론에 대한 이해가 자의적이라는 견해가 대부분이었다. 로트망을 주목하게 만든 건 들뢰즈가 [차이와 반복] 4장에서 그의 개념을 적극 인용하면서부터였다. 수학이론이 변증론의 이데아(이념)에 의해 발전하고 변증론의 이데아(이념)는 그것 자체로는 인식될 수 없지만 수학 이론내에서 문제들로서 기능한다. 들뢰즈의 말을 들어보자.

“이제 말해야 하는 것은 미분법의 형이상학이 아니라 미분법의 변증법이다. 변증법이라는 말을 통해 우리가 이해하는 것은 대립하는 재현들 사이에서 성립하는 이러저러한 순환-이 대립하는 재현들을 어떤 개념의 동일성 안에서 일치시키는 순환- 이 아니다. ..

로트망의 일반적 테제들에 따르면 문제는 세 가지 측면을 지닌다. 먼저 문제와 해들 사이에는 본성상의 차이가 있다. 다른 한편 해들에 대해 문제는 초월적이고 그런 자격에서 문제는 자신의 고유한 규정적 조건들에서 출발하여 해들을 분만한다. 마지막으로 문제는 해들 안에 내재하고 해들은 그런 문제를 은폐한다.”

질 들뢰즈, 김상환 역 [차이와 반복], p391

여기서 등장하는 변증법은 당연 로트망의 것을 염두에 두고 한 말이다. 앞서 로트망은 변증론의 잠재돼 있는 문제가 경험의 재촉으로서 답을 요구하며 수학이론이 만들어진다고 주장했다. 경험의 재촉은 염려할 수 있는 현존재가 초월적이라는 하이데거의 명제를 떠올려보면, 위 인용문에서 문제가 초월적이라는 말 또한 이해할 수 있다. 하이데거의 초월이 경험일반을 넘어선 초험적인 것이 아닌 경험일반을 가능케 하는 원리로서 이념의 평면위에 놓여있음을 생각하면, 당연히 문제들 역시도 ‘초월적이자 동시에 본질적으로 내재적’이라는 말을 이해할 수 있다.

같은 책 p.392

그렇다면 들뢰즈는 그저 로트망의 수리철학을 자신의 철학체계로 맵핑했을 뿐일까? 들뢰즈가 차이와 반복에서 언급하는 이념은 일종의 완화된 플라톤주의인 로트망의 이데아(Idea)라기 보다는 칸트의 이념(Idea)에 가깝다. 들뢰즈는 아무리 수학이론들 자체로만 파악될 수 있는 이데아라 하더라도 초월철학을 암시하는 개념이기에 이를 수정한다. 이는 카바이에스와도 통하는 면이 있는데 카바이에스는 로트망에게 말하기를

개인적으로 나는 수학자들의 실재적 생각을 지배하는 무언가가 있음에 동의하는데 주저하고 있다. 나는 문제들 그 자체에서 재촉(urgency)를 본다. 아마도 이것은 로트망이 변증론이라고 불렀던 것일게다.

Albert Lauman, 2011, p. 224

로트망의 철학에서 플라톤적인 요소를 얼마나 받아들이느냐에 따라 아마 들뢰즈와 바디우의 차이를 볼 수 있을 것이다. 들뢰즈가 받아들인 이념은 양화 가능성, 질화 가능성, 잠재력의 요소를 가지는 것으로서 규정 가능성(dx), 상호적 규정([eqn: f'(x)= {a-y} over {a}]), 완결된 규정([eqn: f(x-a)=f(a)+f prime (a)x+ {f '' (a)} over {2} x ^{2} ....])의 절차가 이에 대응된다. 이는 곧 다양체로서 재정의되는데 이는 요소들 사이에 성립하는 다양하되 정의 불가능한 연관 체계로서 일종의 구조이다. 앞서 로트망은 이데아들이 고정된 불변의 실체가 아니라 변증론의 스키마들과의 관련 속에서 파악된다고 말했음을 기억해보자. 그리고 힐베르트의 형식주의의에 따르면 수학적 대상은 그 자체로 내용을 가지지 않고 특정 공리 체계속에서 의미를 가지는데 이를 로트망이 적극 받아들였음을 떠올려보자. 로트망은 힐베르트의 M공리계라는 불변의 구조 대신 역동적인 구조, 수학 이론속에 구현된 채로만 발견되는 구조로 변주시켰기에 들뢰즈의 다양체 개념의 상당부분은 이미 로트망이 제시한 것과 다름없다. 물론 리만의 다양체(manifold)도 무시할 순 없다. 들뢰즈는 말하기를

질 들뢰즈, 김상환 역 [차이와 반복], p.400

“이념은 구조로 정의된다. 그것은 미분적 요소들 사이에 성립하는 다양하되 정위 불가능한 연관 체계이고 이 체계는 실재적인 결합관계들과 현실적인 항들 안에서 구현된다. 이런 시각에서 보면 발생과 구조를 화해시키는 것은 전혀 어려운 일이 아니다. 수학과 관련된 로트망과 뷔이멩의 작업들을 따라가 보면, ‘구조주의’야말로 발생론적인 방법이 자신의 야망들을 실현할 수 있는 유일한 수단인 것처럼 보일지경이다.”

같은 책, p.400

힐베르트의 메타수학을 수학이론의 잠재성의 영역으로 끌어내린 로트망의 수리철학은 당시 구조주의의 영향하에 있던 들뢰즈의 철학체계에 깊숙이 스며있는 셈이다.

한편, 로트망은 변증론적 개념쌍들이 수학이론 밖에도 있지만 그것이 유효화되는 영역은 수학에서라고 단언한다. 그래서 수학이 물리적 실재, 사회적 실재, 인간적 실재에 대해 어떤 역할을 수행할 수 있다고 주장한다. 일종의 보편수학을 얘기하고 있는 셈이다. 이에 반해 들뢰즈는 다른 영역들에 응용되는 것은 결코 수학이 아닌 변증법이라고 말하며 바로 이 변증법의 보편성으로서 ‘보편수학’이 가능하다고 말한다.  로트망의 변증론이 문제설정적인 방식으로 수학이론을 구성해나간다면, 들뢰즈는 문제설정적인 방식을 철학에 가져와서 철학적 문제에 대한 해를 제공하는 과정 혹은 개념이 형성되는 과정으로 변환시킨다.

Simon duffy, Deleuze and the History of Mathematics, 2013, p.130

질 들뢰즈, 김상환 역 [차이와 반복], p397

Simon duffy, 2013, p. 130

8. 정리하고 나가기.

로트망의 수리철학이 주목받은 건 단연 들뢰즈 덕분이다. 힐베르트의 형식주의에 플라톤과 하이데거를 끌어들여 역동성을 부여한 그의 수리철학체계는 들뢰즈의 철학체계로 변환된다. 플라톤에 대한 태도에서 차이가 있으나 구조주의의 영향 하에 있던 들뢰즈에게 로트망의 수학적 구조물이라는 개념은 큰 영향을 미칠 수 밖에 없었다.

외부에 의해 정의되는 다양체란 개념은 들뢰즈를 좋아하는 사람이라면 누구나 매력적이라고 생각할 것이다. 사실 이런 생각은 이미 철학사에서 다른 누군가에 의해 언급된 바 있겠지만 들뢰즈만큼 광대한 영역에 이 개념을 적용한 사람은 많지 않을 것이다. 그 이유 중 하나는 수학을 경유했기 때문이라고 나는 생각한다. 수학의 개념은 추상적이라는 특성 덕에 이 인문학과 자연과학 둘 모두에 적용해도 무리가 없다. 들뢰즈가 자신의 철학체계를 세우는데 크게 영향을 받은 로트망은 20세기 초반까지의 수학적 성과를 가지고 작업한 사람이다. 이후 수학은 누구나 세분화되어 있어 전문가들조차도 자신의 영역이 아니면 이해하기 힘들 정도로 발전했다. 새로운 철학체계를 만드는 것이 유의미한 작업이 되겠지만 한편으론 막막하다면 철학과 수학을 접속시키는 것이 하나의 방법이 될 수 있을 것 같다.

참고문헌

-Albert Lautman, translated by Simon duffy, [MATHEMATICS, IDEAS AND THE        PHYSICAL REAL], 2011

-Simon duffy, [Deleuze and History of mathematics], 2013

-모리스 클라인, 심재관 옮김, [수학의 확실성], 2007,

-질 들뢰즈, 김상환 역, [차이와 반복]

-하이데거, 이선일 역, [이정표2]

-David griffith, 권영준 역, 양자역학,